Квадратный трехчлен и его корни (продолжение)
§ 2. Квадратный трехчлен (продолжение). Алгебра 9 класс. Макарычев
§ 2. Квадратный трехчлен
Квадратный трехчлен и его корни (продолжение)
Пример 3. Докажем, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.
Пусть одна сторона прямоугольника равна х см. Тогда другая сторона равна 10-х см, а площадь прямоугольника равна х(10 – х) см2.
Раскрыв скобки в выражении х(10 – х), получим 10х – х2. Выражение -х2 + 10х представляет собой квадратный трехчлен, в котором а = — 1, b = 10, с = 0. Выделим квадрат двучлена:
Так как выражение (х – 5)2 при любом х ≠ 5 отрицательно, то сумма (х – 5)2 + 25 принимает наибольшее значение при х = 5.
Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямоугольника равна 5 см. В этом случае другая сторона также равна 5 см, т. е. прямоугольник является квадратом.
Упражнения
55. Какие из чисел -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями многочлена
-
х3 – 3х2 – 4х + 12?
56. Найдите корни многочлена:
-
а) х2 – 7х; б) 2х – 5; в) у3 – 4у; г) у4 – 16.
57. Имеет ли корни многочлен:
-
а) х2 + 1; б) х3 – 27; в) -2у6 – 1; г) у4 + 3у2 + 7?
59. Найдите корни квадратного трехчлена:
-
а) х2 + х – 6;
б) 9х2 – 9х + 2;
в) 0,2х2 + 3х – 20;г) -2х2 – х – 0,125;
д) 0,1х2 + 0,4;
е) -0,3х2 + 1,5х.
60. Найдите корни квадратного трехчлена:
-
а) 10х2 + 5х – 5;
б) -2х2 + 12х – 18;в) х2 – 2х – 4;
г) 12х2 – 12.
61. Имеет ли квадратный трехчлен корни и если имеет, то сколько:
-
а) 5х2 – 8х + 3;
б) 9х2 + 6х + 1;в) -7х2 + 6х – 2;
г) -х2 + 5х – 3?
62. Имеет ли квадратный трехчлен корни и если имеет, то сколько:
-
а) -4х2 – 4х + 3;
б) 4х2 – 4х + 3;в) 9х2 – 12х + 4;
г) 9х2 – 12х – 4?
63. Сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна нулю, а его свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Найдите корни этого трехчлена.
64. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
-
а) х2 – 6х – 2;
б) х2 + 5х + 20;в) 3х2 + 6х – 3;
65. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
-
а) х2 – 10х + 10;
б) х2 + 3х – 1;в) 3х2 + 6х – 3;
66. Докажите, что при любом значении х квадратный трехчлен:
-
а) х2 – 6х + 10 принимает положительное значение;
б) 5х2 – 10x + 5 принимает неотрицательное значение;
в) -х2 + 20х – 100 принимает неположительное значение;
г) -2х2 + 16х – 33 принимает отрицательное значение.
67. Даны квадратные трехчлены х2 – 6х + 11 и -х2 + 6х – 11. Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.
68. При каком значении x трехчлен 2x2 – 4х + 6 принимает наименьшее значение? Найдите это значение.
69. Дан квадратный трехчлен 
Выясните, при каком значении х он принимает наименьшее значение и чему равно это значение трехчлена.
70. Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.
71. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t (с) — время полета стрелы, то расстояние h (м) стрелы от поверхности земли в момент времени t (с) можно найти по формуле h = -5t2 + 50t + 20 (приближенное значение ускорения свободного падения считается равным 10 м/с2). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?
<<< К началу Окончание >>>