§ 31. Вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Алгебра 7 класс. Мордкович. Онлайн учебник
Глава 7. Разложение многочленов на множители
§ 31. Вынесение общего множителя за скобки
Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 26. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Если такое произведение удалось составить, то обычно говорят, что многочлен разложен на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Разложить на множители многочлен:
|
а) 2х + 6у; |
г) 12аb4 – 18а2b3с; |
Р е ш е н и е.
а) 2х + 6у = 2(х + 3у). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.
б) а3 + а2 = а2 (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то её можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).
в) Здесь используем те же приёмы, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных — наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а2). Получаем
-
4а3 + 6а2 = 2а2 • 2а + 2а2 • 3 = 2а2(2а + 3).
г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причём наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге получаем
-
12аb4 – 18а2b3с = 6аb3 • 2b – 6аb3 • 3ас = 6аb3(2b – 3ас).
д) 5а4 – 10а3 + 15а5 = 5а3(а – 2 + 3а2). 
В этом примере мы фактически использовали следующий алгоритм.
|
Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов 1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов). 2. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени. 3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки. |
Замечание 1. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент. Например:
Замечание 2. Следует понимать, что шаги 1 и 2 алгоритма имеют совершенно разный статус. В реальных задачах коэффициенты почти никогда не бывают целыми числами (а оказываются целыми благодаря усилиям составителей задачников, подбирающих условия так, чтобы ответ был покрасивее). Поэтому шаг 1 посвящён лишь получению наиболее приятной для глаза записи, тогда как шаг 2 есть нечто содержательное.
Окончание >>>