§ 29. Деление многочлена на одночлен

Деление многочлена на одночлен. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Алгебра 7 класс. Мордкович. Онлайн учебник

Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами

§ 29. Деление многочлена на одночлен

Снова, как и в начале § 26, сравним планы построения глав 5 и 6. Вы, наверное, заметили, что эти планы почти одинаковы, хотя полное совпадение нарушил предыдущий параграф (посвящённый специфическим формулам сокращённого умножения), да и в главе 5 мы рассмотрели возведение одночлена в степень, а в главе 6 соответствующего разговора о возведении в степень многочлена не было, за исключением случая, когда двучлен возводится в квадрат. После умножения одночленов в главе 5 шла речь о делении одночлена на одночлен. Вот и в главе 6 мы сейчас поговорим об аналогичной операции — делении многочлена на одночлен.

В её основе лежит следующее свойство деления суммы на число:

• (а + b + с) : m = (а : m) + (b : m) + (с : m).

Это позволяет сразу сформулировать правило деления многочлена на одночлен.

В § 23 мы отмечали, что не всегда можно разделить одночлен на одночлен; чтобы деление было выполнимо, необходимо соблюдение целого ряда условий — вспомните их (или посмотрите в § 23), прежде чем рассматривать пример, который приведён ниже. Если задача деления одночлена (простейшего многочлена) на одночлен не всегда была корректной, то что же говорить о делении многочлена на одночлен. Такое деление выполнимо достаточно редко.

Пример 1. Разделить многочлен 2а²b + 4аb² на одночлен 2а.

Р е ш е н и е.

Здесь мы использовали тот способ записи, который обговорили в § 23. А вот другой способ (можно применять и тот и другой, смотря по тому, какой из них вам больше понравится): выделим в каждом члене многочлена 2а²b + 4ab² множитель, в точности равный делителю 2а. Получим

• 2а²b + 4ab² = 2а • ab + 2а • 2b².

Эту сумму можно записать в виде произведения 2a(ab + 2b²). Теперь ясно, что если это произведение разделить на 2а (на один множитель), то в частном получится ab + 2b² (другой множитель).

Пример 2. Разделить многочлен 6х³ – 24х² на 6х².

Р е ш е н и е.

Первый способ.

Второй способ.

• 6х³ – 24х² = 6х² • х – 6х² • 4 = 6х²(х – 4).

Значит, частное от деления 6х³ – 24х² на 6х² равно х – 4.

Пример 3. Разделить многочлен 8а ³ + 6а ² b – b на 2а ² .

Р е ш е н и е.

• 8а³ + 6a²b – b = 2а² • 4а + 2а² • 3b – b.

Поскольку в третьем члене заданного многочлена (речь идёт о члене -b) множитель 2а² не выделяется, деление невозможно. Эта задача некорректна. Фактически мы снова, как и в конце § 23, пришли к алгебраической дроби — на этот раз к алгебраической дроби

• Вопросы для самопроверки

1. Приведите пример корректного задания на деление многочлена на одночлен. Выполните это деление.

2. Приведите пример, когда задание разделить многочлен на одночлен является некорректным. Объясните почему.