Уравнения с параметром (продолжение)

Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Алгебра 8 класс. Макарычев. Онлайн учебник

§ 9. Дробные рациональные уравнения

Уравнения с параметром (продолжение)

Пример 2. Решим уравнение

• ах² + (а² – 1)х + (а – 1)² = 0

с параметром а.

Данное уравнение при а = 0 является линейным, а при а ≠ 0 — квадратным. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Если а = 0, то данное уравнение обращается в линейное уравнение -х +1 = 0, которое имеет единственный корень х = 1.

Пусть а ≠ 0. Тогда мы имеем квадратное уравнение

• ах² + (а² – 1)x – (а – 1)² = 0.

Найдём его дискриминант:

• D = (а² – 1)² – 4а(а – 1)² = (а – 1)²((а + 1)² – 4а) = (а – 1)⁴.

Так как D ≥ 0 при любом значении а, то это уравнение при любом а имеет корни.

Если а = 1, то D = 0, и это уравнение имеет единственный корень. Найти его можно, подставив в уравнение вместо а число 1. Получим х⁴ = 0. Отсюда х = 0.

Если а ≠ 1, то D > 0, и уравнение имеет два корня:

Итак, мы нашли, что данное уравнение имеет корень 1 при а = 0, корень 0 при а = 1, корни 1 – а и при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Упражнения

640. Какие случаи надо выделить при решении уравнения bх + 2х = 3b + 6 с параметром b? Найдите корни уравнения в каждом из этих случаев.

641. Решите относительно у уравнение:

• а) ру – р – 1 = 0;
  
  б) ру – 3у – 4р + 12 = 0.

642. Решите уравнение с параметром

• ах – 2х = а³ – 2а² – 9а + 18.

643 Решите уравнение с параметром b:

• 2х² – 4х + b = 0.

644. Решите относительно х уравнение:

• а) х² – 5ах + 4а² = 0; б) 3х² – 10аx + 3а² = 0.

<<< К началу          Ответы >>>