§ 17. Свойства степени с натуральными показателями (продолжение) Алгебра 7 класс Мордкович
Свойства степени с натуральными показателями. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Алгебра 7 класс. Мордкович. Учебник
Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства
Открытие второе
Пример 2. Вычислить: а) 26 : 24; б) 38 : 35.
Р е ш е н и е, а) Запишем частное в виде дроби и сократим её:
В процессе решения примера мы заметили, что
-
26 : 24 = 22, т.е. 26 : 24 = 26 – 4;
38 : 35 = 33, т.е. 38 : 35 = 38 – 5.
Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя, при этом из показателя делимого вычитается показатель делителя. Первый этап завершён.
На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: аn : аk = ап – k, если n > k.
Теорема 2.
Для любого числа а Ф 0 и любых натуральных чисел п и k таких, что п > k, справедливо равенство
|
Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если …, то …»? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведён после доказательства теоремы).
Доказательство. Рассмотрим произведение ап – k • аk. Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив показатели n – k и k, получим (n – k) + k = n.
Итак, аn – k • аk = аn, а это как раз и означает, что аn : аk = аn – k. Теорема доказана.
А теперь иначе сформулируем теорему 2:
Если а ≠ 0 и n, k — натуральные числа такие, что n > k, то справедливо равенство
|
Условие теоремы: а ≠ 0; n, k — натуральные числа, n > k.
Заключение теооемы: аn : аk = аn – k.
Второе открытие у нас состоялось. Идём дальше.
Открытие третье
Пример 3. Вычислить: а) (25)2; б) (32)3.
Р е ш е н и е, а) Имеем
-
(25)2 = 25 • 25 = 25 + 5 = 210 = 1024 (см. § 16).
б) Имеем
-
(32)3 = 32 • 32 • 32 = 32 + 2 + 2 = 36 – 729 (см. § 16).
О т в е т: а) 1024; б) 729.
В процессе решения примера мы заметили, что
-
(25)2 = 210, т.е. (25)2 = 25 • 2;
(32)3 = 36, т.е. (32)3 = 32 • 3.
Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножаются. Первый этап завершён.
На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: (аn)k = аnk.
Теорема 3.
Для любого числа а и любых натуральных чисел n и k. справедливо равенство (аn)k = аnk |
Доказательство теоремы (третий этап) мы приводим в самом конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и 2). Если есть желание, попытайтесь доказать её самостоятельно (или с помощью учителя).