§ 17. Свойства степени с натуральными показателями (продолжение) Алгебра 7 класс Мордкович

Свойства степени с натуральными показателями. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Алгебра 7 класс. Мордкович. Учебник

Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства

Открытие второе

Пример 2. Вычислить: а) 26 : 24; б) 38 : 35.

Р е ш е н и е, а) Запишем частное в виде дроби и сократим её:

В процессе решения примера мы заметили, что

  • 26 : 24 = 22, т.е. 26 : 24 = 26 – 4;

    38 : 35 = 33, т.е. 38 : 35 = 38 – 5.

Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя, при этом из показателя делимого вычитается показатель делителя. Первый этап завершён.

На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: аn : аk = ап – k, если n > k.

Теорема 2.

Для любого числа а Ф 0 и любых натуральных чисел п и k таких, что п > k, справедливо равенство

  • аn : аk = аn – k

Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если …, то …»? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведён после доказательства теоремы).

Доказательство. Рассмотрим произведение ап – k • аk. Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив показатели n – k и k, получим (n – k) + k = n.

Итак, аn – k • аk = аn, а это как раз и означает, что аn : аk = аn – k. Теорема доказана.

А теперь иначе сформулируем теорему 2:

Если а ≠ 0 и n, k — натуральные числа такие, что n > k, то справедливо равенство

  • аn : аk = аn – k

Условие теоремы: а ≠ 0; n, k — натуральные числа, n > k.

Заключение теооемы: аn : аk = аn – k.

Второе открытие у нас состоялось. Идём дальше.

Открытие третье

Пример 3. Вычислить: а) (25)2; б) (32)3.

Р е ш е н и е, а) Имеем

  • (25)2 = 25 • 25 = 25 + 5 = 210 = 1024 (см. § 16).

б) Имеем

  • (32)3 = 32 • 32 • 32 = 32 + 2 + 2 = 36 – 729 (см. § 16).

О т в е т: а) 1024; б) 729.

В процессе решения примера мы заметили, что

  • (25)2 = 210, т.е. (25)2 = 25 • 2;

    (32)3 = 36, т.е. (32)3 = 32 • 3.

Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножаются. Первый этап завершён.

На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: (аn)k = аnk.

Теорема 3.

Для любого числа а и любых натуральных чисел n и k. справедливо равенство

n)k = аnk

Доказательство теоремы (третий этап) мы приводим в самом конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и 2). Если есть желание, попытайтесь доказать её самостоятельно (или с помощью учителя).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *