§ 33. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения

Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Алгебра 7 класс. Мордкович. Онлайн учебник

Глава 7. Разложение многочленов на множители

§ 33. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения

В § 28 мы получили пять формул сокращённого умножения. Там же мы отметили, что любой из этих формул можно пользоваться как для сокращённого умножения многочлена на многочлен (если применять формулы в том виде, в котором они были записаны в § 28), так и для разложения многочлена на множители, если их переписать следующим образом:

Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего — чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью — к выражению, представляющему собой разность (сумму) кубов; последние две формулы применяются к трёхчлену, представляющему собой полный квадрат, т. е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.

Пример 1. Разложить на множители:

• а) 64x² – 9;

  б) x⁶ – 4а⁴;

  в) (2х – 1)² – 25;

  г) (а + 3)² – (b – 2)².

Р е ш е н и е.

Во всех четырёх примерах воспользуемся формулой (1) (разность квадратов):

• а) 64х² – 9 = (8х)² – 3² = (8х – 3) (8х + 3);

  б) х⁶ – 4а⁴ = (х³)² – (2а²)² = (х³ – 2а²) (х³ + 2а²);

  в) (2х – 1)² – 25 = (2х – 1)² – 5² = ((2х – 1) – 5) ((2х – 1) + 5) = (2х – 6) (2х + 4) = 2(х – 3) • 2(х + 2) = 4(х – 3) (х + 2).

Здесь, кроме формулы разности квадратов, мы использовали приём вынесения общего множителя за скобки — для двучленов 2х – 6 и 2х + 4.

• г) (а + 3)² – (b – 2)² = ((а + 3) – (b – 2)) ((а + 3) + (b – 2)) = (а + 3 – b + 2)(а + 3 + b – 2) = (а – b + 5) (а + b + 1).

Пример 2. Разложить на множители:

• а) 125а³ – 8b³; б) а⁶ + 27b³; в) x⁶ – а⁶.

Р е ш е н и е.

Здесь воспользуемся формулами (2) и (3) (разность и сумма кубов).

• а) 125а³ – 8b³ = (5а)³ – (2b)³ = (5а – 2b) ((5а)² + 5а • 2b + (2b)²) = (5а – 2b) (25а² + 10аb + 4b²).

в) Первый способ:

• х⁶ – а⁶ = (х²)³ – (а²)³ = (х² – а²) ((х²)² + х² • а² + (а²)²) = (х – а) (х + а) (x⁴ + х²а² + а⁴).

Второй способ:

• х⁶ – а⁶ = (х³)² – (а³)² = (х³ – а³) (х³ + а³) = (х – а) (х² + ха + а²) (х + а) (х² – ха + а²).

Окончание >>>