§ 27. Умножение многочлена на многочлен Алгебра 7 класс Мордкович

Умножение многочлена на многочлен. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Алгебра 7 класс. Мордкович. Онлайн учебник

Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами

Овладев правилом умножения многочлена на одночлен, нетрудно сделать следующий шаг: получить правило умножения любых двух многочленов. Рассмотрим сначала произведение самых простых (после одночленов) многочленов, а именно двучленов а + b и с + d.

Итак, пусть нужно раскрыть скобки в произведении (a + b) (с + d). Введём новую переменную m = с + d, тогда получим

• (а + b) (с + d) = (а + b)m = am + bm.

Вернёмся к исходным переменным:

• am + bm = а(с + d) + b(c + d) = ас + ad + bc + bd.

Таким образом,

• (а + b)(c + d) = ас + ad + bc + bd.

Аналогично можно проверить, что

• (а + b + с)(х + у) = ах + ay + bx + by + сх + су

(сделайте это!), т. е., как и в случае умножения двучлена на двучлен, приходится каждый член первого многочлена поочерёдно умножать на каждый член второго многочлена и полученные произведения складывать.

В результате умножения многочленов всегда получается многочлен, надо лишь привести его к стандартному виду.

Пример. Выполнить умножение многочленов

• p₁(x) = 2х² – 5х + 1 и р₂(х) = 3х – 4.

Р е ш е н и е.

• p₁(x) • р²(х) = (2х² – 5х + 1)(3х – 4) =

  = 2x² • 3х + 2х² • (-4) + (-5x) • 3х +

  + (-5х) • (-4) + 1 • 3х + 1 • (-4) =

  = 6х³ – 8х² – 15x² + 20x + 3x – 4 =

  = 6x³ – 23х² + 23x – 4.

Особенно внимательно нужно следить за знаками коэффициентов тех одночленов, которые получаются при раскрытии скобок. И ещё один совет: если у одного многочлена m членов, а у другого п членов, то в произведении должно быть (до приведения подобных членов) mn членов; если же их не mn, то вы что-то потеряли, проверьте. Так, в рассмотренном примере мы умножали трёхчлен на двучлен, получилась сумма шести слагаемых (а после приведения подобных членов осталось четыре слагаемых).

• Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами примере умножения двучлена на двучлен.

2. Всегда ли задание найти произведение двух многочленов является корректным?