Функция у = ах2, ее график и свойства (продолжение)
§ 3. Квадратичная функция и ее график. Алгебра 9 класс. Макарычев. Онлайн учебник
2, ее график и свойства (продолжение). § 3. Квадратичная функция и ее график. Алгебра 9 класс. Макарычев”>
§ 3. Квадратичная функция и ее график
Функция у = ах2, ее график и свойства (продолжение)
Построим график функции , для чего составим таблицу значений этой функции:
Воспользовавшись этой таблицей, построим график функции (рис. 24, а).
Сравним графики функций и (рис. 24, б). При любом х значения этих функций являются противоположными числами. Значит, соответствующие точки графиков симметричны относительно оси х. Иными словами, график функции может быть получен из графика функции с помощью симметрии относительно оси х.
Вообще графики функций у = ах2 и у = -ах2 (при а ≠ 0) симметричны относительно оси х.
График функции у = ах2, где а ≠ 0, как и график функции у = х2, называется параболой.
Сформулируем свойства функции у = ах2 при а > 0.
1. Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х ≠ 0, то у > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости. 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси у. 4. Функция убывает в промежутке (—∞; 0] и возрастает в i промежутке [0; +∞). 5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при х = 0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0; +∞). |
Докажем свойство 4.
Пусть х1 и х2 — два значения аргумента, причем х2 > х1, а у1 и у2 — соответствующие им значения функции. Составим разность у2 – у1 и преобразуем ее:
Так как а > 0 и х2 – х1 > 0, то произведение а(х2 – x1)(x2 + х1) имеет тот же знак, что и множитель х2 + х1. Если числа х2 и х1 принадлежат промежутку (-∞; 0], то этот множитель отрицателен. Если числа х2 и х1 принадлежат промежутку [0; +∞), то множитель х2 + x1 положителен. В первом случае у2 – у1 < 0, т. е. у2 < у1; во втором случае у2 – у1 > 0, т. е. у2 > у1. Значит, в промежутке (-∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) возрастает.
Теперь сформулируем свойства функции у = ах2 при а < 0.
1. Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х ≠ 0, то у < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости. 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси у. 4. Функция возрастает в промежутке (—∞; 0] и убывает в промежутке [0; +∞). 5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при х = 0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток (—∞; 0]. |
Доказательство свойства 4 проводится аналогично тому, как это было сделано для функции у = ах2 при а > 0.
Из перечисленных свойств следует, что при а > 0 ветви параболы у = ах2 направлены вверх, а при а < 0 — вниз. Ось у является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы. Вершиной параболы у = ах2 является начало координат.
Построение графика, симметричного данному относительно оси х, растяжение графика от оси х или сжатие к оси х — различные виды преобразования графиков функции. Преобразования графиков, рассмотренные нами для функции у = ах2, применимы к любой функции.
График функции у = -ƒ(x) можно получить из графика функции у = ƒ(x) с помощью симметрии относительно оси х.
График функции у = aƒ(x) можно получить из графика функции у = ƒ(x) с помощью растяжения от оси х в а раз, если а > 1, и с помощью сжатия к оси х в раза, если 0 < а < 1.
2“> <<< К началу 2 (окончание)”>Окончание >>>