Метод математической индукции (окончание)
Для тех, кто хочет знать больше. Алгебра 9 класс. Макарычев. Онлайн учебник
Для тех, кто хочет знать больше
Метод математической индукции (окончание)
Пример 2. Докажем, что при любом натуральном n сумма 13n + 5 кратна 6.
При n = 1 утверждение верно, так как 131 + 5 = 18, а число 18 кратно 6.
Допустим, что утверждение верно при n = k, т. е. сумма 13k + 5 кратна 6, и докажем, что из этого следует его справедливость для n = k + 1, т. е. сумма 13k + 1 + 5 также кратна 6.
Имеем
-
13k + 1 + 5 = 13k • 13 + 5 = 13k(12 + 1) + 5 = 13k • 12 + (13k + 5).
В полученной сумме каждое слагаемое кратно 6. Значит, сумма 13k + 1 + 5 при любом натуральном k кратна 6. В силу принципа математической индукции утверждение доказано.
Упражнения
662. Проверьте, что при n = 1, 2, 3 верна формула
Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n.
663. Докажите, что при любом натуральном n верно равенство
664. Докажите, что при любом натуральном n сумма
может быть вычислена по формуле
665. Докажите, что при любом натуральном n верно равенство
-
1 • 4 + 2 • 7 + 3 • 10 + … + n (3n + 1) = n (n + 1)2.
666. Пусть (bn) — последовательность, в которой b1 = -3, bk + 1 = bk + 6k + 3. Докажите, что эту последовательность можно задать формулой bn = 3n2 – 6.
667. Докажите, что последовательность (аn), в которой а1 = -5, аk + 1 = аk + 10k + 5, можно задать формулой аn = 5n2 – 10.
668. Докажите, что разность 49n – 1 кратна 48 при любом натуральном n.
669. Пусть (un) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. u1 = 1, u2 = 1, un + 2 = un + un + 1 при n > 2. Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:
<<< К началу