Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии (продолжение)

§ 10. Геометрическая прогрессия. Алгебра 9 класс. Макарычев. Онлайн учебник

§ 10. Геометрическая прогрессия

Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии (продолжение)

Пример 1. В геометрической прогрессии b₁ = 12,8 и

Найдем b₇.

По формуле n-го члена геометрической прогрессии

Пример 2. Найдем восьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 162 и b₃ = 18.

Зная первый и третий члены геометрической прогрессии, можно найти ее знаменатель. Так как b₃ = b₁q², то

Решив уравнение

найдем, что

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если то

Если то

Задача имеет два решения:

Пример 3. Вкладчик положил в банк 5000 р. на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 8%. Какая сумма будет у него на счету через 6 лет?

Начальная сумма вклада составляла 5000 р. Через год эта сумма возрастет на 8% и составит 108% от 5000 р., т. е. будет равна 5000 • 1,08 р. Через 2 года накопленная сумма составит (5000 • 1,08) • 1,08 р., т. е. 5000 • 1,08² р. Через 3 года на счету у вкладчика будет (5000 • 1,08²) • 1,08 = 5000 • 1,08³р. и т. д.

Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией

• 5000, 5000 • 1,08, 5000 • 1,08², 5000 • 1,08³, … .

Сумма, накопленная на счету у вкладчика, через 6 лет будет равна седьмому члену этой прогрессии, т. е. составит 5000 • 1,08⁶.

Выполнив вычисления, найдем, что

• 5000 • 1,08⁶ ≈ 7934.

(При выполнении вычислений удобно использовать калькулятор.) Значит, на счету у вкладчика через 6 лет окажется сумма, приближенно равная 7934 р.

В рассмотренном примере нам приходилось вычислять один и тот же процент от величины, найденной на предыдущем шаге. В таких случаях говорят, что мы имеем дело со сложными процентами.

Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством:

Действительно, если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то

• b_n = b_{n – 1}g, b_{n + 1} = b_nq.

Так как все члены геометрической прогрессии отличны от нуля, то отсюда следует, что

Верно и обратное утверждение:

Докажите это самостоятельно.

Заметим, что из равенства выражающего свойство геометрической прогрессии, следует, что т. е. модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов.

<<< К началу          Окончание >>>