Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии
Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии. § 9. Арифметическая прогрессия. Алгебра 9 класс. Макарычев
§ 9. Арифметическая прогрессия
Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1:
-
1; 5; 9; 13; 17; 21; … .
Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.
Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. |
Иначе говоря, последовательность (аn) — арифметическая прогрессия, если для любого натурального п выполняется условие
-
аn + 1 = an + d,
где d — некоторое число.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство
-
аn + 1 – an = d,
Число d называют разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность.
Приведем примеры.
Если а1 = 1 и d = 1, то получим арифметическую прогрессию
-
1; 2; 3; 4; 5; … ,
члены которой — последовательные натуральные числа.
Если а1 = 1 и d = 2, то получим арифметическую прогрессию
-
1; 3; 5; 7; 9; … ,
которая является последовательностью положительных нечетных чисел.
Если а1 = -2 и d = -2, то получим арифметическую прогрессию
-
-2; -4; -6; -8; -10; … ,
которая является последовательностью отрицательных четных чисел.
Если а1 = 7 и d = 0, то имеем арифметическую прогрессию
-
7; 7; 7; 7; 7; … .
все члены которой равны между собой.
Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.
По определению арифметической прогрессии
-
а2 = а1 + d,
а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d,
а4 = а3 + d = (а1 + 2d) + d = а1 + 3d,
а5 = а4 + d = (а1 + 3d) + d = а1 + 4d.
Точно так же находим, что а6 = а1 + 5d, и вообще, чтобы найти аn, нужно к а1 прибавить (n – 1 )d, т. е.
-
аn = а1 + d(n — 1).
Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии.
Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.
Продолжение >>>