Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными
Для тех, кто хочет знать больше. Алгебра 9 класс. Макарычев
Для тех, кто хочет знать больше
Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными
Вы познакомились со способом решения систем уравнений с двумя переменными, в которых одно уравнение первой степени, а другое — второй степени. Такие системы решаются способом подстановки.
Покажем на примерах некоторые приемы решения систем уравнений, в которых оба уравнения второй степени.
Пример 1. Решим систему уравнений
В этой системе многочлен, записанный в левой части первого уравнения, можно разложить на линейные множители:
Система уравнений перепишется в виде
Произведение (х – 3у)(х + 3у – 1) равно нулю тогда и только тогда, когда х – 3у = 0 или х + 3у – 1 = 0.
Решениями исходной системы являются те пары значений переменных х и у, которые удовлетворяют системе уравнений
или системе уравнений
Поэтому множеством решений исходной системы является объединение множеств решений систем (1) и (2). Говорят, что данная система равносильна совокупности систем уравнений (1) и (2).
Решим первую систему. Выполнив подстановку х = 3у, получим квадратное уравнение 6у2 + у – 7 = 0, корнями которого являются числа у2 = 1. Подставив их значения в первое уравнение, найдем, что х2 = 3. Значит, система (1) имеет решения и (3; 1).
Решим систему (2). Выполнив подстановку х= -3у + 1, получим квадратное уравнение (-3у + 1)2 – у(-3у + 1) + у – 7 = 0, которое после упрощения примет вид 2у2 – у – 1 = 0. Отсюда у4 = 1. Подставив эти значения в первое уравнение системы (2), найдем, что х3 = 2,5, х4 = -2.
Значит, система (2) имеет решения (2,5; -0,5), (-2; 1).
Решения исходной системы: (3; 1), (2,5; -0,5), (-2; 1).
Таким образом, мы решили исходную систему уравнений, заменив ее совокупностью двух систем.
Пример 2. Решим систему уравнений
Воспользуемся способом сложения. Первое уравнение оставим без изменения, а второе умножим на 3. Затем сложим почленно левые и правые части уравнений. Получим уравнение 5х2 = 10ху, которое можно представить в виде х(х- 2у) = 0. Значит, исходную систему можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем
Первая система имеет единственное решение: (0; 0), вторая система имеет два решения: (0; 0) и (-1; -0,5).
Решения исходной системы: (0; 0), (-1; -0,5).
Продолжение >>>