Неравенства с двумя переменными (продолжение)

Неравенства с двумя переменными. § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Алгебра 9 класс. Макарычев. Онлайн учебник

§ 8. Неравенства с двумя переменными и их системы

Неравенства с двумя переменными (продолжение)

Пример 2. Изобразим на координатной плоскости множество решении неравенства x² + у² ≤ 16.

Неравенству x² + у² ≤ 16. удовлетворяют те и только те пары чисел (значений х и у), сумма квадратов которых не превосходит 16. Графиком уравнения х² + у² = 16 является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 4. Эта окружность разбивает координатную плоскость на две области: множество точек, расположенных внутри круга, и множество точек, расположенных вне круга. Первая область (рис. 68) вместе с окружностью является множеством точек, координаты которых удовлетворяют неравенству х² + у² ≤ 16, а координаты точек второй области удовлетворяют неравенству х² + у² > 16.

Пример 3. Выясним, какое множество точек задается неравенством ху > 6.

Графиком уравнения ху = 6 является гипербола. Этот график разбивает координатную плоскость на три области А, В и С (рис. 69). Область А расположена выше ветви гиперболы, лежащей в первой координатной четверти, область В — между ветвями гиперболы, область С — ниже ветви гиперболы, лежащей в третьей координатной четверти.

Отметим на ветви гиперболы, расположенной в первой координатной четверти, точку М(х₀; у₀). Координаты точки М удовлетворяют уравнению ху = 6, а координаты точки К(х₀; у), где у > у₀ > удовлетворяют неравенству ху > 6, так как произведение координат каждой точки области А больше 6. Значит, координаты точек, расположенных в области А, удовлетворяют неравенству ху > 6.

Если точка принадлежит области С, то произведение координат каждой такой точки также больше 6 (обе координаты этой точки — отрицательные числа). Значит, координаты точек области С также удовлетворяют неравенству ху > 6.

Аналогично можно доказать, что координаты каждой точки, расположенной в области В, удовлетворяют неравенству ху < 6, т. е. они не являются решениями неравенства ху > 6. Отсюда следует, что множеством точек, координаты которых удовлетворяют неравенству ху > 6, является объединение областей А и С (см. рис. 69).

Упражнения

482. Является ли пара чисел (—2; 3) решением неравенства:

• а) 2х – 3у + 16 > 0;
  
  б) х² + 3ху – у² < 20;
  в) (х + 3)² + (у – 4)² < 2?

483. Найдите два каких-нибудь решения неравенства:

• а) у > 2х-3; б) у < 3х - 5;

  в) у ≤ х2 – 1; г) х2 + у2 ≤ 9.

484. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

<<< К началу          Ответы >>>