Свойства функций (продолжение)
Свойства функций (продолжение). § 1. Функции и их свойства. Алгебра 9 класс. Макарычев
§ 1. Функции и их свойства
Свойства функций (продолжение)
Пример 1. Рассмотрим свойства функции у = kx + b, где k ≠ 0 (рис. 14).
1. Функция обращается в нуль при
Действительно, решив уравнение kx + b = 0, найдем, что у = 0 при
2. При k > 0 функция принимает отрицательные значения в промежутке и положительные значения в промежутке
Решив неравенства kx + b < 0 и kx + b > 0, найдем, что если k > 0, то у < 0 при и у > 0 при
При k < 0 функция принимает отрицательные значения в промежутке и положительные значения в промежутке
Убедиться в этом можно, решив неравенства kx + b < 0 и kx + b > 0 при условии, что k < 0.
3. При k > 0 функция у = kx + b является возрастающей, а при k < 0 — убывающей.
Докажем это. Пусть х1 и х2 — произвольные значения аргумента, причем х2 > х1. Обозначим через у1 и у2 соответствующие им значения функции:
-
у1 = kx1 + b и у2 = kx2 + b.
Рассмотрим разность у2 – у1:
-
у2 – у1 = (kx2 + b) – (kx1 + b) = kx2 – kx1 = k(x2 – x1).
Множитель х2 – x1 положителен, так как х2 > x1 Поэтому знак произведения k(x2 – x1) определяется знаком коэффициента k.
Если k > 0, то k(x2 – x1) > 0 и у2 > y1. Значит, при k > 0 функция у = kx + b является возрастающей.
Если k < 0, то k(x2 – x1) < 0 и у2 < y1. Значит, при k < 0 функция у = kx + b является убывающей.
Пример 2. Рассмотрим свойства функции где k ≠ 0 (рис. 15).
1. Функция нулей не имеет.
Это следует из того, что дробь при любом значении аргумента не обращается в нуль (по условию k ≠ 0).
2. Функция при k > 0 принимает отрицательные значения в промежутке (-∞; 0) и положительные значения в промежутке (0; +∞).
Действительно, если k > 0, то дробь при х < 0 и при х > 0.
Функция при k < 0 принимает отрицательные значения в промежутке (0; +∞) и положительные значения в промежутке (-∞; 0).
Обоснование аналогично изложенному для случая k > 0.
3. При k > 0 функция является убывающей в каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; +∞), а при k < 0 — возрастающей в каждом из этих промежутков (см. рис. 15, а, б).
Доказательство этого свойства проводится аналогично тому, как это было сделано для линейной функции.
Заметим, что, хотя функция , где k ≠ 0, убывает (или возрастает) в каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; +∞), она не является убывающей (возрастающей) функцией на всей области определения.
<<< К началу Окончание >>>