Решение систем уравнений второй степени
Решение систем уравнений второй степени. § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Алгебра 9 класс. Макарычев
§ 7. Уравнения с двумя переменными и их системы
Решение систем уравнений второй степени
Рассмотрим сначала системы уравнений с двумя переменными, составленные из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени. Такую систему всегда можно решить способом подстановки. Для этого поступают следующим образом:
1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;
2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующие значения второй переменной. |
Пример 1. Решим систему уравнений
Выразим из второго уравнения переменную х через у:
-
х = 1 – 2у.
Подставим в первое уравнение вместо х выражение 1 – 2у, получим уравнение с переменной у:
-
(1 – 2у)2 – 3(1 – 2у)у – 2у2 = 2.
После упрощения получим равносильное уравнение
-
8у2 – 7у – 1 = 0.
Решив его, найдем, что
Соответствующие значения х можно найти, подставив найденные значения у в одно из уравнений системы, например во второе уравнение. Удобнее, однако, воспользоваться формулой х = 1 – 2у.
Подставив в формулу х = 1 – 2у значение получим
Подставив в формулу х = 1 – 2у значение у2 = 1, получим
Итак, система имеет два решения:
Ответ можно записать также в виде пар:
Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить, используя способ подстановки или способ сложения.
Пример 2. Решим систему уравнений
Воспользовавшись тем, что х ≠ 0, выразим из второго уравнения переменную у через х:
Подставим в первое уравнение вместо у выражение Получим уравнение
Решив его, найдем, что
-
х1 = -3, х2 = 3.
По формуле находим соответствующие значения у:
-
у1 = 2, у2 = 2.
Значит, система имеет два решения:
-
х1 = -3, у1 = -2 и х2 = 3, у2 = 2.
Ответ: (-3; -2), (3; 2).
Продолжение >>>