Приемы решения целых уравнений (окончание)

Приемы решения целых уравнений. Алгебра 9 класс. Макарычев. Ответы

Для тех, кто хочет знать больше

Приемы решения целых уравнений (окончание)

Пример 4. Решим уравнение х⁵ + х – 2 = 0

Если данное уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы 2 он является делителем числа -2. Проверка убеждает нас, что корнем уравнения является число 1. Покажем, что других корней это уравнение не имеет. Для этого представим его в виде х⁵ = -х + 2. Функция у = х⁵ является возрастающей, а функция у = -х + 2 — убывающей. Значит, уравнение х⁵ + х – 2 = 0 имеет единственный корень. Это хорошо видно на рисунке 59, на котором схематически изображены графики функций у = х⁵ и у = -х + 2.

Итак, исходное уравнение имеет единственный корень — число 1.

Упражнения

341. Из данных чисел

• 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 7, -7

выберите те, которые являются корнями уравнения

• х⁴ – х³ – 51х² + 49х + 98 = 0.

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

342. Решите уравнение:

• а) х³ – 4х² + 3х + 2 = 0; б) х⁴ + 2х³ – 7х² – 8х + 12 = 0.

343. При каких значениях р равны значения двучленов:

• а) р³ – р² и 8р – 12; б) р³ – 3р и р² + 1?

344. Найдите координаты точек пересечения графика функции у — х³ + 4х² + х – 6 с осями координат.

345. Известно, что график функции у = х⁴ – ах³ — 10х² + 80х – 96 пересекает ось х в точке (4; 0). Найдите а и координаты других точек пересечения графика функции с осью х.

346. Решите уравнение:

• а) 718х⁴ – 717х² – 1 = 0; б) 206х⁴ – 205х² -1 = 0.

347. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

• а) (х² + 8х)² – 4(х + 4)² = 256;
  
  б) 2(х² – 6х)² – 120(х – 3)² = 8.

348. Решите уравнение:

• а) х³ + 11х – 108 = 0; б) х⁵ + 6х + 44 = 0.

349. Из данных уравнений выберите то, которое имеет один и только один целый корень.

• 1. х3 – х + 3 = 0 3. х4 + 5х2 + 4 = 0

  2. х4 + х2 – 20 = 0 4. х3 – 5х + 4 = 0

350. Решите возвратное уравнение

• 10х⁴ – 77х³ + 150х² – 77х + 10 = 0.

351. Докажите, что если число т является корнем уравнения ах⁴ + bх³ + сх² + bх + а = 0, где а, b, с — некоторые числа, причем а ≠ 0, то обратное ему число также является корнем этого уравнения.

Ответы

• 342. а) 2; 1 – √2; 1 + √2; б) -3; -2; 1; 2.

  343. а) -3; 2; б) -1; 1 – √2; 1 + √2.

  344. (-3; 0), (-2; 0), (1; 0) и (0; -6).

  345. а = 5; (-4; 0), (2; 0), (3; 0).

  346. а) -1; 1; б) -1; 1.

  347. а) -10; -4; 2. Указание. Используйте подстановку у = (х + 4)²; б) 2; 4; 3 – √77; 3 + √77.

  348. а) 4; б) -2.

  350. 2; 5.

<<< К началу