Приемы решения целых уравнений (продолжение)
Приемы решения целых уравнений. Алгебра 9 класс. Макарычев. Онлайн учебник
Для тех, кто хочет знать больше
Приемы решения целых уравнений (продолжение)
Пример 2. Решим уравнение
-
2007 (х4 – 6х2 + 9) + 2006(х2 – 3) – 1 = 0.
Используем подстановку у = х2 – 3. Получим квадратное уравнение
-
2007y2 + 2006y -1 = 0.
Применение формулы корней квадратного уравнения приводит здесь к громоздким вычислениям. Поступим иначе. Попытаемся найти целый корень уравнения, если он существует. По теореме 2 он является делителем числа -1, т. е. равен 1 или -1. Подставляя в уравнение числа 1 и -1, убеждаемся, что корнем уравнения является число -1. Второй корень квадратного уравнения найдем, используя теорему Виета. Так как и
Из равенств
найдем корни исходного уравнения:
Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений.
Возвратным уравнением называется уравнение вида
-
а0хn + а1хn – 1 + … + аn – 1х + аn = 0,
в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны, т. е. аk = аn – k, где k = 0, 1, 2, …, n.
Рассмотрим пример решения возвратного уравнения четвертой степени.
Пример 3. Решим уравнение
-
х4 – 5х3 + 6х2 – 5х + 1 = 0.
Воспользуемся тем, что коэффициенты членов многочлена, записанного в левой части уравнения, одинаково удаленных от начала и конца, равны между собой.
Разделив обе части уравнения на х2, получим равносильное ему уравнение
Сгруппируем первый член с последним и второй с четвертым, причем во второй сумме вынесем множитель -5 за скобки. Получим
Введем новую переменную: Тогда
Отсюда
Выполнив подстановку, получим
-
(у2 – 2) – 5у + 6 = 0,
у2 – 5у + 4 = 0.
Полученное квадратное уравнение имеет два корня: у1 = 1 и y2 = 4.
Значит,
Решая эти уравнения, найдем, что первое из них не имеет корней, а второе имеет два корня: x1 = 2- √3 и х2 = 2 + √3.
Значит, исходное возвратное уравнение имеет два корня: 2 – √3 и 2 + √3.
Иногда удается решить целое уравнение, воспользовавшись свойством возрастания или убывания функций.
<<< К началу Окончание >>>