Дробные рациональные уравнения

Дробные рациональные уравнения. § 5. Уравнения с одной переменной. Алгебра 9 класс. Макарычев

§ 5. Уравнения с одной переменной

Дробные рациональные уравнения

В каждом из уравнений

левая и правая части представляют собой рациональные выражения, причем либо оба выражения являются дробными, либо одно из них является дробным, а другое — целым выражением. Такие уравнения, как вы знаете, называются дробными рациональными уравнениями. Напомним, что

При решении дробных рациональных уравнений, как вам известно, обычно поступают следующим образом:

• находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
• умножают обе части уравнения на этот знаменатель;
• решают получившееся целое уравнение;
• исключают из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.

  С простейшими примерами решения дробных рациональных уравнений вы уже встречались. Рассмотрим более сложные примеры.

  Пример 1. Решим уравнение

  • 

  Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен x⁴ – x² – 72. Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим

  • 6x² – 54 + 9х = х³.

  Отсюда

  • х³ – 6х² – 9х + 54 = 0.              (2)

  Решим полученное целое уравнение, используя разложение левой части на множители.

  Имеем

  • (х³ – 6x²) – (9х – 54) = 0,
    
    х²(х – 6) – 9(х – 6) = 0,
    
    (х – 6)(х² – 9) = 0,
    
    (х – 6)(х – 3)(х + 3) = 0.

  Значит, уравнение (2) имеет три корня:

  • x₁ = 6, х₂ = 3, х3 = -3.

  Теперь необходимо проверить, не обращают ли найденные корни в нуль общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (1).

  • Если х = 6, то х⁴ – х² – 72 ≠ 0;
    
    если х = 3, то х⁴ – х² – 72 = 0;
    
    если х = -3, то х⁴ – х² – 72 = 0.

  Значит, уравнение (1) имеет единственный корень — число 6.

  Ответ: 6.

  Пример 2. Решим уравнение

  • 

  Приведение дробей, входящих в уравнение, к общему знаменателю связано с громоздкими преобразованиями и не позволяет легко найти корни уравнения. Поступим иначе. Воспользуемся тем, что знаменатели дробей представляют собой двучлены вида х + b, где b — некоторое число. Преобразуем уравнение так, чтобы в левой и правой его частях были записаны разности дробей, и каждую из разностей заменим дробью.

  Получим

  • 

  Отсюда

  • 

  Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня:

  • х₁ = 5,2 и х₂ = 10.

  Каждое из этих чисел не обращает в нуль знаменатели дробей, входящих в исходное уравнение. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: 5,2 и 10.

  Ответ: 5,2 и 10.

  Продолжение >>>