Целое уравнение и его корни
Целое уравнение и его корни. § 5. Уравнения с одной переменной. Алгебра 9 класс. Макарычев
§ 5. Уравнения с одной переменной
Целое уравнение и его корни
В каждом из уравнений
обе части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют, как известно, целыми уравнениями. Напомним, что
| целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого — целые выражения. |
В уравнении (1) раскроем скобки, перенесем все члены в левую часть и приведем подобные члены. Получим
Выполним аналогичные преобразования в уравнении (2), умножив предварительно обе его части на 4:
В каждом из рассмотренных примеров мы выполняли такие преобразования, которые приводят к уравнению, равносильному данному. В результате получали уравнение, имеющее вид Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен стандартного вида.
Вообще всякое целое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением, левая часть которого — многочлен стандартного вида, а правая — нуль.
| Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х) = 0, где Р (х) — многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.
Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен стандартного вида. |
Например, уравнение (1) является уравнением пятой степени, а уравнение (2) — уравнением четвертой степени.
Уравнение первой степени можно привести к виду ах + b = 0, где х — переменная, а и b — некоторые числа, причем а ≠ 0. Из уравнения ах + b = 0 при а ≠ 0 получаем, что 
Число 
— корень уравнения. Каждое уравнение первой степени имеет один корень.
Уравнение второй степени можно привести к виду ах2 + bх + с = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а ≠ 0. Число корней такого уравнения зависит от дискриминанта D = b2 – 4ас. Если D > 0, то уравнение имеет два корня; если D = 0, то уравнение имеет один корень; если D < 0, то уравнение не имеет корней. Любое уравнение второй степени имеет не более двух корней. Для нахождения корней при D ≥ 0 используется, как известно, формула корней квадратного уравнения 
Уравнение третьей степени можно привести к виду ах3 + bх2 + сх + d = 0, уравнение четвертой степени — к виду ах4 + bх3 + сх2 + dx + е = 0 и т. д., где а, b, с, … — некоторые числа, причем а ≠ 0. Можно доказать, что уравнение третьей степени имеет не более трех корней, уравнение четвертой степени — не более четырех корней. Вообще уравнение n-й степени имеет не более n корней.
Для уравнений третьей и четвертой степеней известны формулы корней, но эти формулы очень сложны и неудобны для практического применения. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул корней не существует.
Заметим, что иногда удается решить уравнение третьей и более высокой степени, применяя какой-либо специальный прием. Например, некоторые уравнения нетрудно решить с помощью разложения многочлена на множители.
Продолжение >>>