Целое уравнение и его корни (продолжение)

Целое уравнение и его корни. § 5. Уравнения с одной переменной. Алгебра 9 класс. Макарычев. Онлайн учебник

§ 5. Уравнения с одной переменной

Целое уравнение и его корни (продолжение)

Пример 1. Решим уравнение

• х³ – 8х² – х + 8 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

• х²(х – 8) – (х – 8) = 0,
  
  (х – 8)(х² – 1) = 0,
  
  (х – 8)(х – 1)(х + 1) = 0.

Отсюда найдем, что

• х – 8 = 0, или х – 1 = 0, или х + 1 = 0.

Значит, исходное уравнение имеет три корня:

• x₁ = 8, х₂ = 1, х₃ = -1.

Уравнения, степень которых выше двух, иногда удается ре шить, введя новую переменную.

Рассмотрим примеры решения уравнений этим методом.

Пример 2. Решим уравнение

• (х² – 5х + 4)(х² – 5х + 6) = 120.

Если перенести все члены уравнения в левую часть и преобразовать получившееся выражение в многочлен стандартного вида, то получится уравнение

• х⁴ – 10х³ + 35х² – 50х – 96 = 0,

для которого трудно найти способ решения.

Однако можно воспользоваться следующей особенностью уравнения (3): в его левой части переменная х входит только в выражение х² – 5х, которое встречается в уравнении дважды. Это позволяет решить данное уравнение с помощью введения новой переменной. Обозначим х² – 5х через у:

• х² – 5х = у.

Тогда уравнение (3) сведется к уравнению с переменной у:

• (у + 4) (у + 6) = 120,

которое после упрощения примет вид

• у² + 10у – 96 = 0.

Решив полученное квадратное уравнение, найдем его корни:

• у₁ = -16, у₂ = 6.

НИЛЬС АБЕЛЬ (1802—1829) — норвежский математик. Основатель общей теории алгебраических функций, внес большой вклад в математический анализ. Впервые доказал неразрешимость в общем случае в радикалах алгебраического уравнения пятой степени и более высоких степеней.

Отсюда

• х² – 5х = -16 или х² – 5х = 6.

Решая уравнение х² – 5х = -16, найдем, что оно не имеет корней.

Решая уравнение х² – 5х = 6, найдем, что оно имеет два корня:

• х₁ = -1, х₂ = 6.

Значит, уравнение (3) имеет два корня:

• х₁ = -1, х₂ = 6.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, имеющие вид ах⁴ + bх² + с = 0.

Уравнения вида ах⁴ + bх² + с = 0, где а ≠ 0, являющиеся квадратными относительно х², называют биквадратными уравнениями.

<<< К началу          Окончание >>>