Представление дроби в виде суммы дробей
Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Алгебра 8 класс. Макарычев. Онлайн учебник
§ 3. Произведение и частное дробей
Представление дроби в виде суммы дробей
Сумму двух рациональных дробей, как известно, всегда можно представить в виде несократимой дроби, у которой числитель и знаменатель — многочлены с переменными или числа (в частности, число 1). Обратная задача — представление дроби в виде суммы двух дробей — неопределённая.
Так, например, дробь можно представить в виде суммы (или разности) двух слагаемых разными способами:
Вообще задача представления дроби в виде суммы дробей допускает сколь угодно много решений. Действительно, если требуется представить дробь в виде суммы двух дробей, то в качестве одного из слагаемых можно взять произвольную дробь Тогда вторая дробь будет равна разности т. е. равна дроби
Для представления дроби в виде суммы дробей можно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов. Разъясним на примере, в чём состоит этот метод.
Пример 1. Представим дробь в виде суммы дробей со знаменателями х – 3 и х + 4.
Допустим, что
Сложим дроби в правой части равенства:
Получаем, что
Это равенство будет тождеством, если а + b = 7 и 4а – 3b = 0.
Решив систему уравнений
найдём, что а = 3, b = 4.
Следовательно,
Приведём теперь примеры задач, при решении которых используется представление дроби в виде суммы целого выражения и дроби.
Пример 2. Найдём все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению х – ху + 3у = 5.
Выразим из уравнения переменную х через у:
Выделив из дроби целую часть, получим
Значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда у – 1 = -2, у – 1 = -1, у – 1 = 1, у – 1 = 2. Отсюда у = -1; 0; 2; 3. Вычисляя соответствующее значение х, получаем искомые пары целых чисел: (4; -1), (5; 0), (1; 2), (2; 3).
Пример 3. Найдём, при каких значениях n значение дроби является целым числом.
Представим дробь в виде суммы многочлена и дроби. Для этого многочлен n2 – 2n – 10 разделим на двучлен n – 5. Деление выполним уголком аналогично тому, как выполняется деление натуральных чисел.
В результате получаем, что частное равно n + 3, а остаток равен 5.
Значит,
-
n2 – 2n – 10 = (n – 5) (n + 3) + 5.
Отсюда
Значение двучлена n + 3 при любом целом л является целым числом.
Значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда n – 5 равно 1, -1, 5 или -5.
Значит, дробь принимает целые значения при n, равном 0, 4, 6 и 10.
Окончание >>>