Доказательство неравенств
Доказательство неравенств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Алгебра 8 класс. Макарычев
§ 11. Неравенства с одной переменной и их системы
Доказательство неравенств
Один из приёмов доказательства неравенств состоит в том, что составляют разность левой и правой частей неравенства и показывают, что она сохраняет знак при любых указанных значениях переменных. Этот приём вам уже приходилось применять в простых случаях. Покажем его применение на более сложном примере.
Пример 1. Докажем, что
Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её:
Для того чтобы оценить составленную разность, каждое из выражений, записанных в скобках, представим в виде дроби со знаменателем 1 и освободимся от иррациональности в её числителе. Получим
Так как функция у = √x является возрастающей, то знаменатель первой дроби меньше, чем знаменатель второй, т. е. первая дробь больше второй. Следовательно, разность дробей является положительной. Заданное неравенство доказано.
Ещё один приём доказательства неравенств состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство следует из других неравенств, справедливость которых известна.
Пример 2. Докажем, что
-
(a2 + bc)(b2 + ас)(с2 + ab) ≥ 8а2b2с2, если а > 0, b > 0, с > 0.
Из соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел следует, что при указанных значениях переменных
Перемножив эти неравенства, получим, что
Отсюда
-
(а2 + bc)(b2 + ас) (с2 + ab) ≥ 8а2b2с2.
Неравенство доказано.
В отдельных случаях удаётся доказать неравенство, используя некоторые очевидные соотношения. В качестве таких очевидных соотношений могут быть взяты, например, такие: (1 + а)2 >1 + 2а при любом а, не равном нулю, при с > 0, при х ≥ -1 и т. п.
Пример 3. Докажем, что двойное неравенство
верно при любом х ≥ 1.
Заменим разности соответственно равными им дробями Тогда данное неравенство примет вид
Так как при x ≥ 1, то
Неравенство доказано.
Окончание >>>