Решение неравенств с одной переменной
Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Алгебра 8 класс. Макарычев
§ 11. Неравенства с одной переменной и их системы
Решение неравенств с одной переменной
Неравенство 5x – 11 > 3 при одних значениях переменной х обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, если вместо х подставить число 4, то получится верное неравенство 5 • 4 – 11 > 3, а если подставить число 2, то получится неравенство 5 • 2 – 11 > 3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5x – 11 > 3 или удовлетворяет этому неравенству. Нетрудно проверить, что решениями неравенства являются, например, числа 100, 180, 1000. Числа 2; 0,5; -5 не являются решениями этого неравенства.
| Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. |
Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.
При решении неравенств используются следующие свойства:
| 1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство. |
Например, неравенство
-
18 + 6x > 0 (1)
равносильно неравенству
-
бx > -18, (2)
а неравенство 6x > -18 равносильно неравенству x > -3.
Указанные свойства неравенств можно доказать, опираясь на свойства числовых неравенств.
Докажем, например, что равносильны неравенства (1) и (2). Пусть некоторое число а является решением неравенства (1), т. е. обращает его в верное числовое неравенство 18 + 6а > 0. Прибавив к обеим частям этого неравенства число -18, получим верное неравенство 18 + 6а – 18 > 0 – 18, т. е. 6а > -18, а это означает, что число а является решением неравенства (2).
Мы показали, что каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2). Аналогично доказывается, что каждое решение неравенства (2) служит решением неравенства (1). Таким образом, неравенства (1) и (2) имеют одни и те же решения, т. е. являются равносильными.
Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств неравенств в общем виде.
Приведём примеры решения неравенств.
Пример 1. Решим неравенство 16x > 13x + 45.
Перенесём слагаемое 13л: с противоположным знаком в левую часть неравенства:
-
16x — 13x > 45.
Приведём подобные члены:
-
3x > 45.
Разделим обе части неравенства на 3:
-
х > 15.
Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших 15. Это множество представляет собой открытый числовой луч (15; +∞), изображённый на рисунке 42.
Ответ можно записать в виде числового промежутка (15; +∞) или в виде неравенства х > 15, задающего этот промежуток. 
Пример 2. Решим неравенство 15х – 23 (х + 1) > 2х + 11.
Раскроем скобки в левой части неравенства:
-
15x – 23x – 23 > 2х + 11.
Перенесём с противоположными знаками слагаемое 2х из правой части неравенства в левую, а слагаемое -23 из левой части в правую и приведём подобные члены:
-
15x – 23x – 2х > 11 + 23,
-10x > 34.
Разделим обе части на -10, при этом изменим знак неравенства на противоположный:
-
x < -3,4.
Множество решений данного неравенства представляет собой открытый числовой луч (-∞; -3,4), изображённый на рисунке 43.
Ответ: (-∞;-3,4).
Продолжение >>>