Свойства числовых неравенств
Свойства числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Алгебра 8 класс. Макарычев
§ 10. Числовые неравенства и их свойства
Свойства числовых неравенств
Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.
| ТЕОРЕМА 1
Если а > b, то b < а; если а < b, то b > а. |
Действительно, если разность а – b — положительное число, то разность b – а — отрицательное число, и наоборот. 
| ТЕОРЕМА 2
Если а < b и b < с, то а < с. |
Докажем, что разность а – с — отрицательное число. Прибавим к этой разности числа b и -b и сгруппируем слагаемые:
-
a – c = a – c + b – b = (а – b) + (b – с).
По условию а < b и b < с. Поэтому слагаемые а - b и b - с — отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, а < с.
Аналогично доказывается, что если а > b и b > с, то а > с.
Геометрическая иллюстрация этих свойств дана на рисунке 23.
| ТЕОРЕМА 3
Если а < b и с — любое число, то а + с < b + с. |
Преобразуем разность (а + с) – (b + с):
-
(а + с) – (b + с) = а – b.
По условию а < b, поэтому а - b — отрицательное число. Значит, и разность (а + b) - (b + с) отрицательна. Следовательно, а + с < b + с.
Итак,
| если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. |
| ТЕОРЕМА 4
Если а < b и с — положительное число, то ас < bс. Если а < b и с — отрицательное число, то ас > bс. |
АРХИМЕД (287—212 гг. до н. э.) — древнегреческий математик, физик и механик. Разработал новые математические методы, в частности методы вычисления площадей криволинейных фигур и объёмов тел. Дал образцы применения математики к задачам естествознания и техники.
Представим разность ас – bс в виде произведения:
-
ас – bс = с (а – b).
Так как а < b, то а - b — отрицательное число. Если с > 0, то произведение с(а – b) отрицательно, и, следовательно, ас < bс. Если с < 0, то произведение с (а - b) положительно, и, следовательно, ас > bс.
Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления. Итак,
| если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство; если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. |
| СЛЕДСТВИЕ
Если а и b — положительные числа и а < b, то |
Продолжение >>>