Решение дробных рациональных уравнений
Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Алгебра 8 класс. Макарычев
§ 9. Дробные рациональные уравнения
Решение дробных рациональных уравнений
В уравнениях
левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым. Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным. Так, уравнение 2х + 5 = 3(8 – х) целое, а уравнения и дробные рациональные.
Пример 1. Решим целое уравнение
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в него дробей, т. е. на число 6. Получим уравнение, равносильное данному, не содержащее дробей:
-
3(х – 1) + 4х = 5х.
Решив его, найдём, что х = 1,5.
Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение
По аналогии с предыдущим примером умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т. е. на выражение х(х – 5). Получим целое уравнение
-
x(x – 3) + x – 5 = x + 5. (2)
Понятно, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Но уравнение (2) может быть не равносильно исходному, так как мы умножили обе его части не на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в нуль. Поэтому не каждый корень уравнения (2) обязательно окажется корнем уравнения (1). Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение
-
х2 – 3х – 10= 0.
Его корни — числа -2 и 5.
Проверим, являются ли числа -2 и 5 корнями уравнения (1). При х = -2 общий знаменатель х(х- 5) не обращается в нуль. Значит, число -2 — корень уравнения (1).
При х = 5 общий знаменатель обращается в нуль и выражения теряют смысл. Поэтому число о не является корнем уравнения (1).
Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.
Вообще при решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать следующим образом:
|
Пример 3. Решим уравнение
Имеем
Общий знаменатель дробей x(x – 2)(х + 2).
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим
-
2х – (х + 2) = (4 – х)(х – 2).
Отсюда
Если x = 2, то х(х – 2)(х + 2) = 0; если х = 3, то х(х – 2)(х + 2) ≠ 0. Значит, корнем исходного уравнения является число 3.
Ответ: 3.
Продолжение >>>