Теорема Виета
Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра 8 класс. Макарычев
§ 8. Квадратное уравнение и его корни
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение х2 – 7х + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Докажем, что таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
| ТЕОРЕМА
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. |
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:
-
х2 + рх + q = 0.
Дискриминант этого уравнения D равен р2 – 4q.
Пусть D > 0. Тогда это уравнение имеет два корня:
Найдём сумму и произведение корней:
Итак,
-
х1 + х2 = -р, x1 • х2 = q.
Теорема доказана. 
При D = 0 квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 имеет один корень. Если условиться считать, что при D = 0 квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это следует из того, что при D = 0 корни уравнения также можно вычислять по формуле
Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.
Пусть квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет корни x1 и х2. Равносильное ему приведённое квадратное уравнение имеет вид
По теореме Виета
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:
| ТЕОРЕМА
Если числа m и n таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x2 + рх + q = 0. |
По условию m + n=-р, а mn = q. Значит, уравнение х2 + рх + q = 0 можно записать в виде
-
х2 – (m + n) х + mn = 0.
Подставив вместо x число m, получим:
-
m2 – (m + n)m + mn = m2 – m2 – mn + mn = 0.
Значит, число m является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения.
Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.
Продолжение >>>