Теорема Виета (продолжение)
Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра 8 класс. Макарычев. Онлайн учебник
§ 8. Квадратное уравнение и его корни
Теорема Виета (продолжение)
ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввёл систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.
Пример 1. Найдём сумму и произведение корней уравнения
-
3х2 – 5х + 2 = 0.
Дискриминант D = 25 – 4 • 3 • 2 = 1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение Значит, сумма корней уравнения 3х2 – 5х + 2 = 0 равна а произведение равно
По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.
Пример 2. Решим уравнение х2 + 3х – 40 = 0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.
Найдём дискриминант:
-
D = 32 + 4 • 40 = 169.
По формуле корней квадратного уравнения получаем
Отсюда
-
х1 = -8, х2 = 5.
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х2 + 2х – 40 = 0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен -40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х2 + 3х – 40 = 0.
Пример 3. Найдём подбором корни уравнения
-
х2 – х – 12 = 0.
Дискриминант D = 1 – 4 • 1 • (-12) — положительное число. Пусть x1 и х2 — корни уравнения. Тогда
-
x1 + х2 = 1 и х1 • х2 = —12.
Если х1 и х2 — целые числа, то они являются делителями числа -12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x1 = -3 и х2 = 4.
Упражнения
580. Найдите сумму и произведение корней уравнения:
-
а) х2 – 37х + 27 = 0;
б) у2 + 41у – 371 = 0;
в) х2 – 210х = 0;
г) у2 – 19 = 0;д) 2х2 – 9х – 10 = 0;
е) 5х2 + 12х + 7 = 0;
ж) -z2 + 2 = 0;
з) 3х2 – 10 = 0.
581. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
-
а) х2 – 2х – 9 = 0;
б) 3х2 – 4х – 4 = 0;в) 2х2 + 7х – 6 = 0;
г) 2х2 + 9х + 8 = 0.
582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
-
а) х2 – 15х – 16 = 0;
б) х2 – 6х – 11 = 0;
в) 12х2 – 4х – 1 = 0;г) х2 – 6 = 0;
д) 5х2 – 18х = 0;
е) 2х2 -41 = 0.
583. Найдите подбором корни уравнения:
-
а) х2 – 9х + 20 = 0;
б) х2 + 11х – 12 = 0;в) х2 + х – 56 = 0;
г) х2 – 19х + 88 = 0.
584. Найдите подбором корни уравнения:
-
а) х2 + 16х + 63 = 0; б) х2 + 2х – 48 = 0.
585. В уравнении х2 + рх – 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.
586. Один из корней уравнения х2 – 13х + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.
587. Один из корней уравнения 5х2 + bх + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.
588. Один из корней уравнения 10х2 – 33х + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.
589. Разность корней квадратного уравнения х2 – 12х + q = 0 равна 2. Найдите q.
590. Разность корней квадратного уравнения х2 + х + с = 0 равна 6. Найдите с.
<<< К началу Ответы >>>