Формула корней квадратного уравнения
Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра 8 класс. Макарычев
§ 8. Квадратное уравнение и его корни
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Начнём с примера. Решим уравнение
-
7х2 – 6х – 1 = 0.
Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
Выделим из трехчлена квадрат двучлена. Для этого разность представим в виде прибавим к ней выражение и вычтем его.
Получим
Отсюда
Следовательно,
Уравнение имеет два корня:
Способ, с помощью которого мы решили уравнение, называют выделением квадрата двучлена.
Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение
-
ах2 + bх + с = 0. (1)
Разделив обе его части на а, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
Преобразуем это уравнение, используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись в рассмотренном примере:
Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число его корней зависит от знака дроби Так как а ≠ 0, то 4а2 — положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком её числителя, т. е. выражения b2 – 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 («дискриминант» по-латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т. е.
-
D = b2 – 4ас.
Запишем уравнение (2) в виде
Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости от значения D.
1) Если D > 0, то
Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня:
Принята следующая краткая запись, которую называют формулой корней квадратного уравнения:
Продолжение >>>