Формула корней квадратного уравнения (продолжение)

Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра 8 класс. Онлайн учебник. Макарычев

§ 8. Квадратное уравнение и его корни

Формула корней квадратного уравнения (продолжение)

2) Если D = 0, то уравнение (2) примет вид:

Отсюда

В этом случае уравнение (1) имеет один корень

Формулой корней квадратного уравнения можно пользоваться и в этом случае. Действительно, при D = 0 формула (I) принимает вид

откуда

3) Если D < 0, то значение дроби отрицательно и поэтому уравнение

а следовательно, и уравнение (1) не имеют корней.

Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).

• При решении квадратного уравнения по формуле (I) целесообразно поступать следующим образом:

  • 1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
    
    2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Пример 1. Решим уравнение 12х² + 7х + 1 = 0.

Найдём дискриминант:

• D = 7² – 4 • 12 • 1 = 1, D > 0.

Применим формулу корней квадратного уравнения:

Ответ:

Пример 2. Решим уравнение х² – 12х + 36 = 0.

Имеем

Ответ: 6.

Пример 3. Решим уравнение 7х² – 25х + 23 = 0.

Имеем

• D = (-25)² – 4 • 7 • 23 = 625 – 644, D < 0.

Ответ: корней нет.

Из формулы (I) можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ах² + 2kx + с = 0.

Найдём его дискриминант: D = 4k² – 4ас = 4(k² – ас).

Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения k² – ас. Обозначим это выражение через D₁.

Если D₁ ≥ 0, то по формуле корней квадратного уравнения получим

Значит, если квадратное уравнение имеет вид

• ах² + 2kx + с = 0,

то при D₁ ≥ 0 его корни могут быть найдены по формуле

Если D₁ < 0, то уравнение корней не имеет.

Пример 4. Решим уравнение 9х² – 14х + 5 = 0.

Имеем D₁ = (-7)² – 9 • 5=4,

Ответ:

<<< К началу          Окончание >>>