Квадратный корень из степени
Квадратный корень из степени. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Алгебра 8 класс. Макарычев
§ 6. Свойства арифметического квадратного корня
Квадратный корень из степени
Найдём значение выражения √х2 при х = 5 и при х = -6:
В каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа равен модулю этого числа:
ТЕОРЕМА
При любом значении х верно равенство
|
Рассмотрим два случая: х ≥ 0 и х < 0. Если х ≥ 0, то по определению арифметического квадратного корня √х2 = х. Если х < 0, то -х > 0, поэтому Мы знаем, что |х| = х, если х ≥ 0, и |х| = -х, если х < 0. Значит, при любом х значение выражения √х2 совпадает со значением выражения |х|.
Равенство (1) является тождеством. Это тождество применяется при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем. Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством (1).
Пример 1. Упростим выражение Представим степень а16 в виде (а8)2 и воспользуемся тождеством (1):
Так как а8 ≥ 0 при любом а, то |а8| = а8. Итак, √а16 = а8.
Пример 2. Преобразуем выражение √х10, где х < 0.
Представим х10 в виде (х5)2, получим
Так как х < 0, то х5 < 0, поэтому |х5|= -х5.
Значит, при х < 0
Пример 3. Найдём значение выражения
Представим число 893 025 в виде произведения простых множителей, получим
Пример 4. Упростим выражение
Продолжение >>>