Квадратный корень из произведения и дроби
. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Алгебра 8 класс. Макарычев
§ 6. Свойства арифметического квадратного корня
Квадратный корень из произведения и дроби
Сравним значения выражений 
Мы видим, что 
Аналогичным свойством обладает корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.
| ТЕОРЕМА 1
Если а ≥ 0 и b ≥ 0, то √ab = √a • √b. |
Каждое из выражений √a • √b и √ab имеет смысл, так как а ≥ 0 и b ≥ 0. Покажем, что выполняются два условия:
-
1) √a • √b ≥ 0; 2) (√a • √b)2 = ab.
Так как выражения √a и √b принимают лишь неотрицательные значения, то произведение √a • √b неотрицательно.
Используя свойство степени произведения, получим
-
(√a • √b)2 = (√a)2 • (√b)2 = ab.
Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях а и b верно равенство
-
√ab = √a • √b.
Доказанная теорема распространяется на случай, когда число множителей под знаком корня больше двух.
Например, если а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0, то 
Действительно, 
Таким образом, арифметический квадратный корень обладает следующим свойством:
| корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. |
Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из дроби.
| ТЕОРЕМА 2
Если а ≥ 0 и b > 0, то |
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Проведите доказательство самостоятельно.
Итак, справедливо ещё одно свойство арифметического квадратного корня:
| корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя. |
Пример 1. Найдём значение выражения 
Воспользуемся теоремой о корне из произведения:
Пример 2. Вычислим значение выражения 
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа, и применим теорему о корне из произведения:
Продолжение >>>