Уравнение х2 = а

Уравнение х² = а. § 5. Арифметический квадратный корень. Алгебра 8 класс. Макарычев

² = а. § 5. Арифметический квадратный корень. Алгебра. 8 класс. Макарычев”>

§ 5. Арифметический квадратный корень

Уравнение х² = а

Рассмотрим уравнение х² = а, где а — произвольное число. В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможны три случая.

Если а < 0, то уравнение х² – а корней не имеет. Действительно, не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.

Если а = 0, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю, так как существует единственное число 0, квадрат которого равен нулю.

Если а > 0, то уравнение имеет два корня. Чтобы убедиться в этом, обратимся к графику функции у = х² (рис. 13). Прямая у = а при а > 0 пересекает параболу у = х² в двух точках. Обозначим абсциссы точек пересечения х₁ и х₂. Тогда значит, числа x₁ и х₂ — корни уравнения х² = а. Так как х₂ есть положительное число, квадрат которого равен а, то х₂ является арифметическим квадратным корнем из а, т. е. х₂ = √а. Так как x₁ есть число, противоположное х₂, то х₁ = -√а.

Например:

• уравнение х² = 49 имеет корни х₁ = -√49 и х₂ = √49, т. е. х₁ = -7 и х₂ = 7;
  уравнение x² = 6,25 имеет корни x₁ = -√6,25 и х₂ = √6,25, т. е. х₁ = -2,5 и х₂ = 2,5;
  уравнение имеет корни т. е. и

Уравнение х² = 2 имеет корни x₁ = -√2 и х₂ = √2. Эти корни являются иррациональными числами, так как не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. С помощью графика функции у = х² легко найти приближённые значения этих корней: √2 ≈ 1,4 и -√2 ≈ -1,4 (рис. 14). Уравнения х² =3, х² = 5, х² = 6,5 имеют соответственно корни -√3 и √3, -√5 и √5, -√6,5 и √6,5. Эти корни также являются иррациональными числами.

Вообще, при любом а ≥ 0 уравнение х² = а имеет неотрицательный корень √a; иными словами, какое бы число а ≥ 0 мы ни взяли, найдётся неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это означает, что

Упражнения

319. Имеет ли корни уравнение:

• а) х² = 81; б) х² = 18; в) х² = 0; г) х² = -25?

320. Решите уравнение:

• а) х2 = 36; б) х2 = 0,49; в) х2 = 121;

  г) х2 = 11; д) х2 = 8; е) х2 = 2,5.

321. Решите уравнение и с помощью графика функции у = х² найдите приближённые значения его корней:

• а) х² = 3; б) х² = 5; в) х² = 4,5; г) х² = 8,5.

322. Решите уравнение:

² = а (окончание)”>Окончание >>>