Рациональные числа (продолжение)
Рациональные числа. § 4. Действительные числа. Алгебра 8 класс. Макарычев
§ 4. Действительные числа
Рациональные числа (продолжение)
Применим теперь этот способ обращения обыкновенной дроби в десятичную к числу 
Делим числитель на знаменатель:
Первым остатком, полученным при делении, является само число 8. Второй остаток равен 6, третий равен 23. Затем опять получили в остатке 8. Продолжая деление, мы, как и раньше, приписываем к остаткам нули. Поэтому следующим остатком снова будет 6, потом получим остаток, равный 23, опять остаток, равный 8, и т. д. Сколько бы мы ни продолжали деление, мы не получим в остатке 0. Значит, деление никогда не закончится.
Говорят, что дробь 
обращается в бесконечную десятичную дробь 0,216216…:
Так как при делении числителя 8 на знаменатель 37 последовательно повторяются остатки 8, 6 и 23, то в частном в одном и том же порядке будут повторяться три цифры: 2, 1, 6. Бесконечные десятичные дроби такого вида называют периодическими. Повторяющаяся группа цифр составляет период дроби. При записи периодических десятичных дробей период пишут один раз, заключая его в круглые скобки:
Эта запись читается так: нуль целых, двести шестнадцать в периоде.
Число 
также записывается в виде бесконечной десятичной дроби:
Эта запись читается: нуль целых, пятьдесят восемь сотых, три в периоде.
Точно так же можно показать, что
Вообще каждое дробное число можно представить либо в виде десятичной дроби (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. Например:
-
2,5 = 2,5000…; -3 =-3,000… .
Таким образом,
| каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби. |
Верно и обратное утверждение:
| каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число. |
Например,
Эти равенства легко проверить, выполнив деление.
Разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0:
-
0,(9) = 0,999… = 1,000… = 1;
16,1(9) = 16,1999… = 16,2000… = 16,2.
Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9.
<<< К началу Окончание >>>