§ 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приёмов (окончание)

Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приёмов. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Алгебра 7 класс. Онлайн учебник. Мордкович

Глава 7. Разложение многочленов на множители

§ 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приёмов (окончание)

Пример 4. Разложить на множители трёхчлен

• х⁴ + х²а² + а⁴.

Р е ш е н и е.

Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим х²а² в виде 2х²а² – х²а². Получим

• х⁴ + х²а² + а⁴ = х⁴ + 2х²а² – х²а² + а⁴ = (х⁴ + 2х²а² + а⁴) – х²а² = (х² + а²)² – (ха)² – (х² + а² – ха) (х² + а² + ха).

А теперь вернитесь, пожалуйста, к замечанию, которое было сделано в § 33 (после примера 2). Как видите, мы выполнили данное там обещание.

Пример 5. Разложить на множители трёхчлен n³ + 3n² + 2n.

Решение.

Сначала воспользуемся тем, что п можно вынести за скобки: n(n² + 3n + 2). Теперь к трёхчлену n² + 3n + 2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n + n:

• n² + 3n + 2 = n² + 2n + n + 2 = (n² + 2n) + (n + 2) = n(n + 2) + (n + 2) = (n + 2) (n + 1).

Итак, n³ + 3n² + 2n = n(n + 1) (n + 2).

Этим разложением мы уже воспользовались в § 30. Правда, там это было сделано без обоснований, зато теперь всё встало на свои места.

Пример 6. Вычислить 38,8² + 83 • 15,4 – 44,2². Решение. Последовательно применим группировку, формулы сокращённого умножения, вынесение общего множителя за скобки. Эта совокупность алгебраических приёмов позволит провести арифметические вычисления легко и изящно:

• 38,8² + 83 • 15,4 – 44,2² = 83 • 15,4 – (44,2² – 38,8²) = 83 • 15,4 – (44,2 – 38,8) (44,2 + 38,8) = 83 • 15,4 – 5,4 • 83 = 83 • (15,4 – 5,4) = 83 • 10 = 830.

Заканчивая этот параграф, вернёмся к тому, с чего мы начинали главу 7. В § 30 мы говорили о том, что разложение на множители — один из методов решения уравнений. В следующем примере мы и воспользуемся этим методом.

Предварительно отметим следующее. В математике и смежных науках часто встречаются уравнения вида ах² + bх + с = 0, где а, b, с — числа (коэффициенты), причём а ≠ 0. Например, 2х² – 3x + 2 = 0, х² + 4х – 8,5 = 0 и т. д. Такие уравнения называют квадратными, мы специально займёмся их изучением в 8-м классе. Но некоторые квадратные уравнения мы можем решить уже теперь. Одно квадратное уравнение мы решили выше, в § 32 (см. пример 5а), сейчас решим ещё одно, причём даже двумя способами (правда, обычно делают не так, а пользуются готовыми формулами для решения квадратных уравнений, но вы их пока не знаете).

Пример 7. Решить уравнение х² – 6x + 5 = 0.

Р е ш е н и е.

Первый способ. Представим -6х в виде суммы -х – 5х, а затем применим способ группировки:

• х² – 6х + 5 = х² – х – 5х + 5 = (х² – х) + (-5х + 5) = х(х – 1) – 5(x – 1) = (х – 1)(х – 5).

Тогда заданное уравнение примет вид

• (х – 1)(х – 5) = 0,

откуда находим, что либо х = 1, либо х = 5.

Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим

• х² – 6х + 5 = х² – 6х + 9 – 4 = (х² – 6х + 9) – 4 = (x – 3)² – 2² = (х – 3 – 2)(х – 3 + 2) = (х – 5)(х – 1).

Снова пришли к уравнению (х – 1)(х – 5) = 0, имеющему корни 1 и 5.

О т в е т: 1, 5.

• Вопросы для самопроверки

1. Почему прочитанный вами параграф носит такое название?

2. В чём заключается метод выделения полного квадрата?

3. Расскажите, о комбинации каких приёмов шла речь в данном параграфе.

<<< К началу