§ 31. Вынесение общего множителя за скобки (окончание) Алгебра 7 класс Мордкович

Вынесение общего множителя за скобки. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Алгебра 7 класс. Онлайн учебник. Мордкович

Глава 7. Разложение многочленов на множители

Пример 2. Разложить на множители многочлен

  • 4у3 – 2х3у2 + 5х2.

Р е ш е н и е.

Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.

2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х2.

Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, её нельзя вынести за скобки.

3) В ы в о д: за скобки можно вынести х2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -х2. Получим

  • -x4y3 – 2х3у2 + 5х2 = -х(х2у3 + 2ху2 – 5).

Пример 3. Можно ли разделить многочлен 5а4 – 10а3 + 15а5 на одночлен: а) 5а3; б) 25а2? Если да, то выполнить деление.

Р е ш е н и е.

а) В примере 1д) мы получили, что

  • 4 – 10а3 + 15а5 = 5а3(а -2 + 3а2).

Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а3, при этом в частном получится а – 2 + 3а2.

Значит, заданный многочлен можно разделить на 25а2, при этом в частном получится

Подобные примеры мы рассматривали в § 29; просмотрите их, пожалуйста, ещё раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.

Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 26 и 29, — с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен.

А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задаётся в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.

Пример 4. Разложить на множители

  • 2х(х – 2) + 5(х – 2)2.

Р е ш е н и е.

Введём новую переменную у = х – 2. Тогда получим

  • 2х(х – 2) + 5(х – 2)2 = 2xy + 5у2.

Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки: 2ху + 5у2 = у(2х + 5у). А теперь вернёмся к старым обозначениям:

  • у(2х + by) = (х – 2)(2х + 5(х – 2)) = (х – 2)(2х + bх – 10) = (х – 2)(7х – 10).

В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую запись:

  • 2х(х – 2) + 5(х – 2)2 = (х – 2)(2х + 5(х – 2)) = (х – 2) (2х + 5х – 10) = (х – 2)(7х – 10).

  • Вопросы для самопроверки

1. Как вы понимаете, что означает процесс вынесения множителя за скобки?

2. Сформулируйте алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов.

3. Приведите пример трёхчлена, у которого можно вынести за скобки общий множитель 3х2.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *