§ 30. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно (окончание)

Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Алгебра 7 класс. Онлайн учебник. Мордкович

Глава 7. Разложение многочленов на множители

§ 30. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно (окончание)

Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях, как, скажем, в следующем, довольно трудном, но красивом примере, где ключ к успеху опять-таки в разложении на множители.

Пример. Доказать, что для любого натурального числа n выражение n³ + 3n² + 2n делится без остатка на 6.

Р е ш е н и е.

Пусть р(n) = n³ + 3n² + 2n.

Если n = 1, то р(1) = 1 + 3 + 2 = 6. Значит, р(1) делится на 6 без остатка.

Если n = 2, то р(2) = 2³ + 3 • 22 + 2 • 2 = 8 + 12 + 4 = 24. Следовательно, и р(2) делится на 6 без остатка.

Если n = 3, то р(3) = 3³ + 3 • 3² + 2 • 3 = 27 + 27 + 6 = 60. Поэтому и р(3) делится на 6 без остатка.

Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы.

Имеем

• n³ + 3n² + 2n = n(n + 1) (n + 2).

В самом деле

• n(n + 1) = n² + n,

а

• (n² + n) (n + 2) = n³ + 2n² + n² + 2n = n³ + 3n² + 2n.

Итак,

• р(n) = n(n + 1) (n + 2),

т. е. р(n) есть произведение трёх идущих подряд натуральных чисел n, n + 1, n + 2. Но из трёх таких чисел одно обязательно делится на 3, значит, и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел — чётное, т. е. делится на 2, значит, и произведение делится на 2. Итак, р(n) делится и на 2, и на 3, т. е. делится и на 6.

Всё прекрасно, скажете вы, но как догадаться, что n³ + 3n² + 2n = n(n + 1)(n + 2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители. К этому и перейдём: в каждом из следующих параграфов этой главы мы будем изучать тот или иной приём разложения многочлена на множители.

• Вопросы для самопроверки

1. Используя материал данного параграфа, расскажите, для каких типов заданий нужно уметь раскладывать многочлен на множители. Попробуйте привести примеры таких заданий.

2. Решите уравнение х + 1 – ху – у = 0.

3. Вычислите без калькулятора:

<<< К началу