§ 28. Формулы сокращённого умножения Алгебра 7 класс Мордкович
Формулы сокращённого умножения. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Алгебра 7 класс. Мордкович. Онлайн учебник
Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами
1. Квадрат суммы и квадрат разности
Умножим двучлен а + b на себя, т. е. раскроем скобки в произведении (а + b) (а + b), или, что то же самое, в выражении (а + b)2:
-
(а + b)2 = (а + b)(a + b) = a • a + a • b + b- a + b • b = а2 + ab + ab + b2 = а2 + 2 ab + b2.
Аналогично получаем
-
(а – b)2 = (а – b) (а – b) = а2 – ab – bа + b2 = а2 – 2ab + b2.
Итак,
На обычном языке формулу (1) читают так: квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение.
Формулу (2) читают так: квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение.
Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности.
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:
-
а) (3х + 2)2; б) (5а2 – 4b3)2.
Р е ш е н и е.
а) Воспользуемся формулой (1), учитывая, что в роли а выступает 3х, а в роли b — число 2. Получим
-
(3x + 2)2 = (3х)2 + 2 • 3х • 2 + 22 = 9х2 + 12х + 4.
б) Воспользуемся формулой (2), учитывая, что в роли а выступает 5а2, а в роли b выступает 4b3. Получим
-
(5а2 – 4b3)2 = (5а2)2 – 2 • 5а2 • 4b3 + (4b3)2 – 25а4 – 40а2b3 + 16b6.
При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
-
(-а – b)2 = (а + b)2;
(b – а)2 = (а – b)2.
Это следует из того, что (-а)2 = а2.
Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1, 2, 8 и 9. Смотрите:
-
712 = (70 + 1)2 = 702 + 2 • 70 • 1 + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
912 = (90 + 1)2 = 902 + 2 • 90 • 1 + 12 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
692 = (70 – 1)2 = 702 – 2 • 70 • 1 + 12 = 4900 – 140 + 1 = 4761;
1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2 • 100 • 2 + 22 = 10000 + 400 + 4 = 10404;
482 = (50 – 2)2 = 502 – 2 • 50 • 2 + 22 = 2500 – 200 + 4 = 2304.
Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. Проведём соответствующие рассуждения для 852.
Имеем
-
852 = (80 + 5)2 = 802 + 2 • 80 • 5 + 52 = 80(80 + 10) + 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Замечаем, что для вычисления 852 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 352 = 1225 (3 – 4 = 12, и к полученному числу приписали справа 25); 652 = 4225; 1252 = 15 625 (12 • 13 = 156, и к полученному числу приписали справа 25).
Приведём доказательство отмеченного факта.
Пусть число а оканчивается цифрой 5, это значит, что а = 10b + 5, где b — число, полученное из числа а отбрасыванием последней цифры 5 (например, 125 = 10 • 12 + 5; здесь b = 12). Тогда
-
а2 = (106 + 5)2 = 100b2 + 100b + 25 = 100b (b + 1) + 25.
Получили, что число 6 надо умножить на 2 + 1, умножить полученное произведение на 100 и затем прибавить 25. Это равносильно тому, что к числу b(b + 1) справа приписали 25. Например, для вычисления 1252 умножим 12 на 13, получим 156; справа припишем 25, получим 15 625.
Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 53).
Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)2. Этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а2), квадрат со стороной b (его площадь равна b2), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b)2 = а2 + b2 + 2ab, т. е. получили формулу (1).