§ 23. Деление одночлена на одночлен Алгебра 7 класс Мордкович
Деление одночлена на одночлен. Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами. Алгебра 7 класс. Мордкович. Онлайн учебник
Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами
Что такое одночлен, мы знаем; как одночлены складывать, вычитать, перемножать и даже возводить в степень — обсудили. Но ведь имеется ещё одна арифметическая операция — деление, операция, обратная умножению. Можно ли быть уверенным в том, что операция деления одночлена на одночлен всегда выполнима — в том смысле, что в частном получится одночлен? Вот об этом и поговорим.
Пример 1. Опираясь на свойства арифметических действий, попытаемся выполнить деление одночленов:
|
а) 10а : 2; |
|
Р е ш е н и е.
а) Воспользуемся тем, что если произведение двух чисел делят на третье число, то можно разделить на это число один из множителей и полученное частное умножить на другой множитель. (Вспомнили? Например, (12 • 4) : 3 = (12 : 3) • 4 = 4 • 4 = 16.) Имеем
-
10а : 2 = (10 : 2) • а = 5а.
б) Рассуждая как в примере а), получаем
-
18аb : (3а) = (18 : 3) • (а : а)b = 6 • 1 • b = 6b.
в) 36а3b5 : (4аb2) = (36 : 4) • (а3 : а) • (b5 : b2) = 9а3 – 1 • b5 – 2 = 9а2b3.
Иногда удобнее вместо знака деления (:) использовать черту дроби. Вот как тогда будет выглядеть решение примера в):
г) Здесь мы используем комбинированную запись решения, т. е. и знак деления, и черту дроби:
Здесь всё верно, но, как говорят математики, нерационально, поскольку сразу было ясно, что х3у2z : x3y2z = 1 (фактически выражение делится само на себя).
Это не одночлен, значит, разделить 4х3 на 2ху нельзя (в том смысле, чтобы в частном получился одночлен).
е) И эта задача невыполнима, так как мы пока не умеем делить при одном и том же основании степень с меньшим показателем на степень с бо́льшим показателем. 
Мы рассмотрели шесть примеров, из них четыре оказались корректными, а два (последние) — некорректными (эти термины мы ввели в § 22).
Проанализируем теперь решённые примеры и попробуем с помощью этого анализа выяснить, когда можно разделить одночлен на одночлен так, чтобы в частном снова получился одночлен.
Естественно, удобнее, чтобы оба одночлена (и делимое, и делитель) были записаны в стандартном виде (впрочем, об этом мы условились ещё в § 21) с отличными от нуля коэффициентами.