§ 17. Свойства степени с натуральными показателями (окончание)
Свойства степени с натуральными показателями. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Алгебра 7 класс. Онлайн учебник. Мордкович
Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства
§ 17. Свойства степени с натуральными показателями (окончание)
Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трём серьёзным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее формулировать в виде трёх правил, которые полезно запомнить.
Правило 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Правило 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитают показатель делителя. Правило 3. При возведении степени в степень кпоказатели перемножаются. |
Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах всё чётко, всё оговорено, всё предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, лёгкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математического языка: наряду с серьёзными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила.
Пример 4. Вычислить
Р е ш е н и е. 1) 23 • 24 = 23 + 4 = 27 (правило 1);
2) (27)5 = 27 • 5 = 235 (правило 3);
3) 2 • 28 = 21 + 8 = 29 (правило 1);
4) (29)3 = 29 • 3 = 227 (правило 3);
5) 235 : 227 = 235 – 27 = 28 (правило 2);
6) 28 = 256.
О т в е т: 256.
Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада ещё раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряжённая работа, давайте же и мы выделим самое главное.
Самое главное — три формулы:
аn : аk = аn + k аn : аk = аn – k, где n > k, а ≠ 0; (аn)k = аnk |
Их можно применять как справа налево, так и слева направо. Например,
Замечание. Мы говорили только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об их сложении и вычитании ничего не известно, так что не сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять сумму 24 + 23 на 27; в самом деле, посчитайте: 24 = 16; 23 = 8; 16 + 8 = 24, но это не есть 27, поскольку 27 = 128. Нельзя заменять разность 35 - 34 на 31; действительно, посчитайте: 35 = 243; 34 = 81; 243 - 81 = 162, но это не есть 31, так как 31 = 3. Будьте внимательны!
В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. Имеем
-
Вопросы для самопроверки
1. Закончите предложение: «При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели ...».
2. Закончите предложение: «При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели ...».
3. Закончите предложение: «При возведении степени в степень показатели ...».
4. Запишите каждое из сформулированных вами в п. 1—3 правил на математическом языке.
5. Что получится, если 217 умножить на 213?
6. Что получится, если 217 разделить на 213?
7. Какое из двух равенств верно: (24)3 = 24 + 3 или (24)3 = 24 • 3?
<<< К началу